2006 : Nombres complexes, équations différentielles et jeu de dé

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2005 : Calcul de {tex}cosfrac{5pi}{12}{/tex} et {tex}sinfrac{5pi}{12}{/tex} (2005)

Terminale S2

2006 : Nombres complexes, équations différentielles et jeu de dé

Détails: Catégorie : Algèbre

1) a) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation (E): $z^{2}-2z+2=0$

On désigne par $z_{1}$ la solution de (E) dont la partie imaginaire est positive et par $z_{2}$ l'autre solution de (E).

b) Dans le plan complèxe rapporté à un repère orthonormal $(o,\vec{u},\vec{v})$ d'unité graphique 2 cm, on considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{1}$ , $z_{2}$ et $\sqrt{3}+1.$ Placer les points A,B et C.

Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.

2) Résoudre l'équation différentielle : $y\prime\prime-2y\prime+2y=0.$

3) On considère l'équation différentielle $(1)$ : $ay\prime\prime-by\prime+cy=0$ , où a, b et c désignent trois paramètres, éléments de l'ensemble $\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} .$

Pour déterminer a, b et c, on lance trois fois de suite un dé cubique parfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on note à chaque fois le chiffre marqué sur la face supérieure du dé.

Le premier numéro sorti donne la valeur de a, le deuxième donne la valeur de b et le troisième, celle de c.

a) Justifier que l'équation différentielle : $ay\prime\prime-by\prime+c=0.$ a pour solutions les fonctions de la forme $x\rightarrow (A\cos x+B\sin x)e^{x}$ , où A et B sont des réel si et seulement si $1+i$ est solution dans $\mathbb{C}$ de l'équation du second degré en z, $az^{2}-bz+c=0.$

b) Calculer la probabilité de l'événement : les solutions de $(1)$ sont les fonctions de la forme $x\rightarrow(A\cos x+B\sin x)e^{x}$ , A et B étant des constantes réelles.

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