PARTIE A : (03,25 points)
Soit g la fonction définie dans ]0, +8[ par : |.
1) a) Déterminer l’ensemble de définition de g. (0,5 point)
b) Calculer les limites de g aux bornes de . (0,75 point)
(Pour la limite au voisinage de 1, on pourra poser h = x – 1).
2) Déterminer g’, la fonction dérivée de g, et dresser le tableau de variations de g. (01 point)
3) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution a telle que 4 < a < 5. (0,5 point)
4) Déduire de l’étude précédente le signe de g sur Dg. (0,5 point)
PARTIE B : (06,75 points)
On considère la fonction f définie par : , si
, si x = 0
1) a) Vérifier que f est définie sur IR \ {1} et calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. (01 point)
b) Préciser les droites asymptotes à , la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. (0,5 point)
2) a) Etudier la continuité de f en 0. (0,5 point)
b) On admet que :
Montrer que : .(0,5 point)
Donner l’interprétation graphique de ces résultats. (0,5 point)
3) a) Montrer que (0,25 point)
b) Calculer f ’(x) sur les intervalles où f est dérivable puis dresser le tableau de variations de f. (01 point)
4) Construire dans un repère orthonormé , unité graphique 2 cm. (01,5 point)
On pourra prendre .
On placera les points d’abscisses – 1 ; 0 ; 2 et 5.
5) a) Déterminer les réels a et b tels que pour tout , on ait :
(0,25 point)
b) En déduire que :
(0,25 point)
c) Calculer l’aire du domaine du plan limité par , l’axe des abscisses et les droites
d’équations respectives x = - ln 2 et x = 0. (0,5 point)
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